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Déterminer les limites suivantes :
a.
$\displaystyle\lim_{x\to -\infty} x^2 - 2x + 15$;
Corrigé
Pour tout $x\neq 0$,
\[x^2 - 2x + 15 = x^2\left[1 - \dfrac 2 x + \dfrac{15}{x^2}\right].\]
Or :
\[\left.\begin{array}{r}
\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \dfrac{15}{x^2}= 0\\
\displaystyle\lim_{x\to-\infty} -\dfrac 2 {x} = 0\\
\displaystyle\lim_{x\to-\infty} 1 = 1
\end{array}\right\}
\implies
\lim_{x\to-\infty} 1 - \dfrac 2 x + \dfrac{15}{x^2} = 1.\]
D'autre part, $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^2 = +\infty$, donc en utilisant les règles sur le produit des limites:
\[\lim_{x\to -\infty} x^2\left(1-\dfrac 2 x + \dfrac{15}{x^2}\right) =(+\infty)\times 1 = +\infty.\]
b.
$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} \left(1 + \frac 1 {\sqrt x}\right)\left(x - 3\right)$;
Corrigé
D'une part
\[\begin{aligned}
\lim_{\substack{x\to0\\x>0}} \sqrt{x} &= 0^+&
\\ \implies
\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} \dfrac 1 {\sqrt x} &= +\infty&
\\ \implies
\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} 1+\dfrac 1 {\sqrt x} &= +\infty.&
\end{aligned}\]
D'autre part,
\[\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} x - 3 = -3.\]
Donc en utilisant les règles sur le produit :
\[\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} \left(1+\dfrac 1 {\sqrt x}\right)\left(x - 3\right) = (+\infty)\times(-3)=-\infty.\]
c.
$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 3\\x>3}} \frac{1 - 4x}{x - 3}$;
Corrigé
\[\displaystyle\lim_{x\to 3^+} x - 3 = 0^+\]
et
\[\displaystyle\lim_{x\to 3} 1 - 4x = -11.\]
Donc en appliquant les règles sur le quotient, on a:
\[\lim_{x\to 3^+} \dfrac{1-4x}{x-3} = -\infty.\]
d.
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \sqrt x - 1 + \frac 1 x$;
Corrigé
\[\displaystyle\lim_{x_to +\infty} \sqrt x = +\infty,\]
\[\displaystyle\lim_{x\to+\infty} - 1 = -1\]
et
\[\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac 1 x = 0.\]
En utilisant les règles sur la somme on obtient que
\[\lim_{x\to +\infty} \sqrt x - 1 + \dfrac 1 x = +\infty.\]
e.
$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} \left(2 - \frac 1 x\right)\left(\frac 1 {x^2} + 4x\right)$;
Corrigé
\[\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} \dfrac 1 x = +\infty \implies \displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} 2 - \dfrac 1 x = -\infty,\]
\[\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac 1 {x^2} = +\infty\]
et
\[\displaystyle\lim_{x\to 0} 4x = 0 \implies \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac 1 {x^2} + 4x = 0.\]
En utilisant les règles sur le produit:
\[\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} \left(2-\dfrac 1 x\right)\left(\dfrac 1 {x^2} + 4x\right) = -\infty.\]
f.
$\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2\\x< 2}} \frac{x^3}{4 - 2x}$.
Corrigé
\[\displaystyle\lim_{x\to 2^-}4 - 2x =0^+\]
et
\[\displaystyle\lim_{x\to2} x^3 = 8\]
donc
\[\displaystyle\lim_{x\to 2^-}\dfrac{x^3}{4-2x} = +\infty.\]
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