On considère la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+1} = \dfrac{-u_n - 4}{u_n + 3}.\]
On admet que $u_n$ est défini pour tout entier naturel $n$.
-
Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.
Corrigé
\[u_1 = \frac{-u_0-4}{u_0+3} = \frac{-0-4}{0+3} = -\frac 4 3.\]
\[\begin{aligned}
u_2 &= \frac{-u_1-4}{u_1+3} = \frac{\frac 4 3 - 4}{-\frac 4 3 + 3}
=\frac{\frac{4-12} 3}{\frac{-4+9}3}
=\frac{-\frac 8 3}{\frac 5 3}&
\\
&=-\frac 8 3 \times \frac 3 5 = -\frac 8 5.&
\end{aligned}\]
-
On considère la fonction terme ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python :
def terme (n) :
u = …
for i in range(n):
u = …
return(u)
On rappelle qu'en langage Python, i in range (n) signifie
que $i$ varie de $0$ à $n - 1$.
Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel $n$,
l'instruction terme(n) renvoie la valeur de $u_n$.
Corrigé
On peut proposer
def terme (n) :
u = 0
for i in range(n):
u = (-u-4)/(u+3)
return(u)
-
Soit la fonction $f$ définie sur $]-3;+\infty[$ par :
\[f(x) = \dfrac{- x - 4}{x+ 3}.\]
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-3\;;\;+\infty[$.
Indication
Corrigé
On pourra déterminer $f'(x)$ et en étudier le signe.
$f=\dfrac u v$ où les fonctions $u$ et $v$, dérivables sur $]-3;+\infty[$, vérifient
\[\begin{aligned}
u(x)&=-x-4\;;& \quad u'(x)&=-1\;;&
\\
v(x)&=x+3\;;& \quad v'(x)&=1.&
\end{aligned}\]
De plus, $v$ ne s'annule pas sur cet intervalle, donc la fonction $f$ est elle aussi
dérivable sur $]-3;+\infty[$ et
\[
f'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.\]
Donc pour tout réel $x$ de $]-3;+\infty[$:
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{-(x+3)-(-x-4)\times 1}{(x+3)^2}&
\\
&=\frac{-x-3+x+4}{(x+3)^2}&
\\
&=\frac 1 {(x+3)^2}.&
\end{aligned}\]
Puisqu'il s'agit du carré d'un réel non nul:
\[(x+3)^2 > 0 \implies \frac 1 {(x+3)^2} >0.\]
La fonction $f'$ est strictement positive sur $]-3;+\infty[$, donc la fonction $f$ est strictement croissante
sur ce même intervalle.
-
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
\[- 2 < u_{n+1} \leqslant u_n.\]
Indication
Pour l'hérédité, on se souviendra qu'une fonction croissante conserve l'ordre.
À savoir que si $f$ est croissante sur un intervalle $I$, $a\in I$ et $b\in I$, alors
\[a \leqslant b \Rightarrow f(a) \leqslant f(b).\]
Corrigé
Notons $\mathcal P(n)$ l'assertion «$-2<u_{n+1} \leqslant u_n$».
On sait que $u_0 = 0$ et $u_1 = -\frac 4 3$, donc on a bien
\[-2 < u_1 \leqslant u_0.\]
$\mathcal P(0)$ est donc vraie (initialisation).
Supposons que pour un entier naturel $n$ donné, $\mathcal P(n)$ soit vraie:
\[-2 < u_{n+1} \leqslant u_n.\]
Tous ces nombres sont dans l'intervalle $]-3;+\infty[$ et la fonction $f$,
strictement croissante sur cet intervalle, conserve l'ordre.
On a donc
\[\begin{aligned}
f(-2) &< f(u_{n+1}) \leqslant f(u_n)&
\\ \implies
\frac{2-4}{-2+3} &< u_{n+2} \leqslant u_{n+1}&
\\ \implies
\frac {-2} 1 &< u_{n+2} \leqslant u_{n+1}&
\\ \implies
-2 &< u_{n+2} \leqslant u_{n+1}.&
\end{aligned}\]
On vient de montrer que si $\mathcal P(n)$ est vraie, alors $\mathcal P(n+1)$ le sera aussi (hérédité).
En conclusion, par récurrence, $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
-
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
Indication
Corrigé
Que nous apprend la question précédente sur la monotonie et le "bornage" de la suite $(u_n)$?
On vient juste de montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante mais minorée par −2.
Elle converge donc vers un réel supérieur ou égal à −2.
-
Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[v_n = \dfrac{1}{u_n + 2}.\]
-
Donner $v_0$.
Corrigé
\[v_0 = \frac 1 {u_0+2} = \frac 1 {0+2} = \frac 1 2.\]
-
Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison 1.
Indication
Corrigé
Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$ puis de $u_n$.
Montrer alors que $v_{n+1} - v_n = 1$.
Pour tout entier naturel $n$:
\[\begin{aligned}
v_{n+1}
&=\dfrac 1 {u_{n+1} + 2}&
\\
&=\dfrac 1 {\dfrac{-u_n - 4}{u_n +3} + 2}&
\\
&=\dfrac 1 {\dfrac{-u_n-4 + 2(u_n + 3)}{u_n +3}}&
\\
&=\dfrac 1 {\dfrac{-u_n - 4 + 2u_n + 6}{u_n + 3}}&
\\
&=\dfrac{1}{\dfrac{u_n +2}{u_n + 3}}&
\\
&=\dfrac{u_n + 3}{u_n +2}.&
\end{aligned}\]
Donc, pour tout entier naturel $n$:
\[\begin{aligned}
v_{n+1} - v_n
&=\frac{u_n + 3}{u_n + 2} - \frac 1 {u_n + 2}&
\\
&=\frac{u_n +3 - 1}{u_n + 2}&
\\
&=\frac{u_n + 2}{u_n + 2}&
\\
&=1.&
\end{aligned}\]
La suite $(v_n)$ est donc arithmétique de raison $r=1$.
-
En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
\[u_n = \dfrac{1}{n + 0,5} - 2.\]
Indication
Corrigé
Puisque $(v_n)$ est aritmétique, on sait exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
En "inversant" la relation liant $v_n$ à $u_n$, on peut exprimer $u_n$ en fonction
de $v_n$, donc en fonction de $n$.
Puisque $(v_n)$ est arithmétique, pour tout entier naturel $n$
\[v_n = v_0 + nr = \frac 1 2 + n\times 1 = n + 0,5.\]
D'autre part
\[\begin{aligned}
v_n &= \frac 1 {u_n + 2}&
\\ \iff
u_n + 2&= \frac 1 {v_n}&
\\ \iff
u_n &=\frac 1 {v_n} - 2&
\\ \iff
u_n &=\frac 1 {n+0,5} - 2.&
\end{aligned}\]
-
Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
Corrigé
Calculons la limite de $(u_n)$ à partir de son terme général.
\[\begin{aligned}
\lim_{n\to+\infty} n + 0,5 &= +\infty&
\\ \implies
\lim_{n\to+\infty} \frac 1 {n+0,5} &= 0&
\\ \implies
\lim_{n\to+\infty} \frac 1 {n+0,5} -2 &=0 -2 = -2.&
\end{aligned}\]
La suite $(u_n)$ converge vers $-2$.