EX-36

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par \[f(x) = \ln \left(1 + \mathrm{e}^{-x}\right).\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$.
La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous.

1.a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
Corrigé

\begin{align*} \lim_{x\to-\infty} -x &= +\infty& \\ \implies \lim_{x\to-\infty} \mathrm e^{-x} &= +\infty& \\ \implies \lim_{x\to-\infty} 1+\mathrm e^{-x} &= +\infty& \\ \implies \lim_{x\to-\infty} \ln\left(1+\mathrm e^{-x}\right) &= +\infty.& \end{align*}

1.b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
Interpréter graphiquement ce résultat.
Corrigé

\begin{align*} \lim_{x\to+\infty} -x &= -\infty& \\ \implies \lim_{x\to+\infty} \mathrm e^{-x} &= 0& \\ \implies \lim_{x\to+\infty} 1+\mathrm e^{-x} &= 1& \\ \implies \lim_{x\to+\infty} \ln\left(1+\mathrm e^{-x}\right) &= 0.& \end{align*}

1.c. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Calculer $f'(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$, \[f'(x) = \dfrac{-1}{1 + \mathrm{e}^x}.\] Corrigé

\begin{align*} f'(x) &= \frac{-\mathrm e^{-x}}{1+\mathrm e^{-x}}& \\ &=\frac{\cancel{\mathrm e^{-x}}\left(-1\right)} {\cancel{\mathrm e^{-x}}\left(\frac 1 {\mathrm e^{-x}} + 1\right)}& \\ &=-\frac 1 {\frac{1}{\mathrm e^{-x}} + 1}& \\ &=-\frac1{\mathrm e^x + 1}& \\ &=-\frac 1 {1+\mathrm e^x}.& \end{align*}

1.d. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\mathbb R$.
Corrigé

Pour tout réel $x$: \[\mathrm e^x > 0 \implies \mathrm e^x + 1 > 1 \implies \mathrm e^x + 1 > 0.\] Donc \[ \frac 1 {\mathrm e^x + 1} > 0 \implies -\frac 1 {\mathrm e^x + 1} < 0. \implies f'(x) < 0.\] On en déduit le tableau de variations suivant :

On note $T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$.

2.a. Déterminer une équation de la tangente $T_0$.
Corrigé

$f(0) = \ln(1+\mathrm e^0) = \ln(1+1) = \ln(2)$.
$f'(0) = \dfrac{-1}{1+\mathrm e^0} = -\dfrac 1 {1+1} = -\dfrac 1 2$.
L'équation de $T_0$ est donc : \begin{align*} y &= f'(0)(x-0) + f(0)& \\ \iff y &= -\frac 1 2 x + \ln(2).& \end{align*}

2.b. Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb R$.
Corrigé

$f'$ est de la forme $-\dfrac 1 {u}$ où $u$ est définie sur $\mathbb R$ par \[u(x)= \mathrm e^x + 1.\] $u$ ne s'annule pas et est dérivable sur $\mathbb R$, donc il en va de même pour $f'$ et l'on a \[f'' = -\left(-\frac{u'}{u^2}\right) = \frac{u'}{u^2}.\] Donc pour tout réel $x$: \[f''(x) =\frac{\mathrm e^x}{(1+\mathrm e^x)^2}.\] $f''$, quotient de deux quantités strictement positives, est donc strictement positive sur $\mathbb R$.
La fonction $f$ est donc convexe sur $\mathbb R$.

2.c. En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a : \[f(x) \geqslant - \dfrac12x + \ln (2).\] Corrigé

Puisque $f$ est convexe sur $\mathbb R$, sa courbe est au dessus de n'importe laquelle de ses tangentes, donc en particulier de $T_0$.
On a donc bien \[\forall x\in\mathbb R,\qquad f(x) \geqslant -\frac 1 2x + \ln(2).\]

Pour tout nombre réel $a$ différent de 0, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $-a$ et $a$.
On a donc : $M_a\left(-a;f(-a)\right)$ et $N_a\left(a;f(a)\right)$.

3.a. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : \[f(x) - f(-x) = - x.\] Corrigé

Pour tout réel $x$ \begin{align*} f(x) - f(-x) &=\ln(1+\mathrm e^{-x}) - \ln(1+\mathrm e^x)& \\ &=\ln\left(\frac{1+\mathrm e^{-x}}{1+\mathrm e^x}\right)& \\ &=\ln\left(\mathrm e^{-x}\times \frac{\frac 1 {\mathrm e^{-x}} + 1}{1+\mathrm e^x}\right)& \\ &=\ln\left(\mathrm e^{-x}\times \frac{\mathrm e^x + 1}{1+\mathrm e^x}\right)& \\ &=\ln(\mathrm e^{-x}\times 1)& \\ &=\ln(\mathrm e^{-x})& \\ &=-x.& \end{align*}

3.b. En déduire que les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.
Corrigé

Le coefficient directeur de $T_0$ est $-\dfrac 1 2$.
Le coefficient directeur de $(M_aN_a)$ est : \[ \frac{y_{N_a} - y_{M_a}}{x_{N_a} - x_{M_a}} =\frac{f(a) - f(-a)}{a-(-a)} =\frac{-a}{2a} =-\frac 1 2. \] $T_0$ et $(M_aN_a)$ ont le même coefficient directeur, donc elles sont parallèles.

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