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Déterminer, si elle existe, la limite de la suite $(u_n)$ si pour tout $n\in\mathbb N^*$:
a.
$u_n = n^2-3n + 5$;
Corrigé
On a une forme indéterminée du type $+\infty - \infty$. On va la lever en factorisant:
\[u_n = n\left(n - 3 + \frac 5 n\right).\]
Or:
\[\lim_{n\to +\infty}\frac 5 n = 0,\quad
\lim_{n\to +\infty} - 3 = 3 \quad\text{et}\quad
\lim_{n\to +\infty} n = +\infty\]
donc la limite de $u_n$ est désormais de la forme $+\infty\times(+\infty)$ soit:
\[\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty.\]
b.
$u_n = n^3 - n^2$;
Corrigé
Ici encore, on est en présence d'une forme indéterminée $+\infty - \infty$. On se propose donc de factoriser:
\[u_n = n^3 - n^2 = n^3\left(1 - \frac 1 n\right).\]
Sachant que:
\[\lim_{n\to +\infty} \frac 1 n = 0\ \text{donc que}\
\lim_{n\to +\infty} 1 - \frac 1 n = 1,\]
la limite de $u_n$ est de la forme $+\infty \times 1$ et donc:
\[\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty.\]
c.
$u_n = 5 - \dfrac{2}{n+1}$;
Corrigé
On a:
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty} n+1 &= +\infty&
\\ \implies
\lim_{nto+\infty} \frac 2 {n+1} &= 0&
\\
\implies
\lim_{n\to +\infty} 5 - \frac 2 {n+1} &= 5 - 0 = 5.&
\end{align*}
d.
$u_n = \dfrac{n^2 - 2n}{3+n}$;
Corrigé
On est en présence d'une forme indéterminée du type $\frac\infty\infty$. Factorisons:
\[u_n = \frac{n(n-2)}{n\left(\frac 3 n +1\right)} = \frac{n-2}{\frac 3 n + 1}.\]
Or:
\[\lim_{n\to +\infty} \frac 3 n = 0 \implies \lim_{n\to +\infty} \frac 3 n + 1 = 0\]
et
\[\lim_{n\to +\infty} n - 2 = +\infty.\]
La limite de $u_n$ est de la forme $\frac\infty 1$,
donc: $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty$.
e.
$u_n = \dfrac{1}{n^2}-2\sqrt{n}$;
Corrigé
On a:
\[\lim_{n\to +\infty} n^2 = +\infty \implies \lim_{n\to +\infty} \frac 1 {n^2} = 0\]
et
\[\lim_{n\to+\infty} \sqrt n = +\infty \implies \lim_{n\to +\infty} -2\sqrt n = -\infty.\]
La limite de $u_n$ est de la forme $0-\infty$, donc
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n = -\infty$.
f.
$u_n = \sqrt{n}-\dfrac{1}{\sqrt n}$;
Corrigé
On sait que $\sqrt n$ tend vers $+\infty$, donc que $\frac 1 {\sqrt n}$ tend vers 0,
et la limite de $u_n$ est de la forme $+\infty - 0$, donc
$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty$.
g.
$u_n = \dfrac{3n^2+n+1}{n^2+2n - 1}$.
Corrigé
On est en présence d'une forme indéterminée $\frac\infty\infty$. On factorise:
\[u_n = \frac{n^2(3 + 1/n +1/{n^2})}{n^2(1+2/n - 1/{n^2})} = \frac{(3 + 1/n +1/{n^2})}{(1+2/n - 1/{n^2})}.\]
Or les termes $\frac 1 n$, $\frac 2 n$ et $\frac 1 {n^2}$ tendent tous vers 0, donc
\[\lim_{n\to +\infty} u_n = \frac 3 1 = 3.\]
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