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Dans chaque cas, la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $I$.
Calculer $f''(x)$.
-
$f:x\mapsto \mathrm e^x$, $I=\mathbb R$.
Corrigé
Pour tout $x\in I$:
\[f'(x) = \mathrm e^x \implies f''(x) = \mathrm e^{x}.\]
-
$f:x\mapsto 3x^2 - 7x$, $I = \mathbb R$.
Corrigé
Pour tout $x\in I$:
\[f'(x)= 3(2x) - 7 = 6x - 7\]
donc
\[f''(x) = 6.\]
-
$f:x\mapsto \dfrac 1 x$, $I = ]0;+\infty[$.
Corrigé 1
Corrigé 2
Pour tout $x\in I$:
\[f'(x) = -\frac 1 {x^2}.\]
$f = - \left(\dfrac 1 {u}\right)$ avec $u(x) = x^2$ donc
\[f''(x) = -\left(-\frac{u'(x)}{\left(u(x)\right)^2}\right) = \frac{2x}{\left(x^2\right)^2} = \frac{2x}{x^4}
=\frac 2 {x^3}.\]
Pour tout $x\in I$:
\[f'(x) = -\frac 1 {x^2}.\]
\[f'(x) = -\frac 1 {x^2} = -\left(x^{-2}\right).\]
Donc
\[f''(x) = -\left(-2x^{-2-1}\right) = 2x^{-3} = \frac 2 {x^3}.\]
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