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Dans chaque cas, la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb R$.
Calculer $f''(x)$ si
-
$\forall x\in\mathbb R,\quad f(x)= \mathrm e^{3x^2 + 2}$;
Corrigé
Ici $f=\mathrm e^u$ avec $u(x) = 3x^2 + 2$.
Donc pour tout réel $x$:
\[f'(x) = u'(x)\mathrm e^{u(x)} = 6x\mathrm e^{3x^2+2}.\]
$f'=u\times v$ avec $u(x) = 6x$ et $v(x) = \mathrm e^{3x^2+2}$.
Donc pour tout réel $x$
\[\begin{aligned}
f''(x)
&=u'(x)v(x) + u(x)v'(x)&
\\
&=6\mathrm e^{3x^2+2} + 6x\cdot 6x\mathrm e^{3x^2+2}&
\\
&=6\mathrm e^{3x^2+2} + 36x^2\mathrm e^{3x^2+2}&
\\
&=6(1+6x^2)\mathrm e^{3x^2+2}.&
\end{aligned}\]
-
$\forall x\in\mathbb R,\quad f(x) = x^3 + \mathrm e^x$;
Corrigé
Pour tout réel $x$:
\[f'(x) =3x^2 + \mathrm e^x.\]
Donc :
\[f''(x) = 3(2x) + \mathrm e^x = 6x + \mathrm e^x.\]
-
$\forall x\in\mathbb R,\quad f(x) = x\mathrm e^x$;
Corrigé
$f=u\cdot v$ avec $u(x) = x$ et $v(x) = \mathrm e^x$.
Donc pour tout réel $x$:
\[\begin{aligned}
f'(x)
&= u'(x)v(x) + u(x)v'(x)&
\\
&=1\mathrm e^x + x\mathrm e^x&
\\
&=(1+x)\mathrm e^x.&
\end{aligned}\]
$f'=u\cdot v$ avec $u(x) = 1+x$ et $v(x) = \mathrm e^x$.
Donc pour tout réel $x$
\[\begin{aligned}
f''(x) &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x)&
\\
&=1\mathrm e^x + (1+x)\mathrm e^x&
\\
&=(1+1+x)\mathrm e^x&
\\
&=(2+x)\mathrm e^x.&
\end{aligned}\]
-
$\forall x\in\mathbb R,\quad f(x) = \mathrm e^{x^3-5}$.
Corrigé
$f=\exp\circ u$ avec $u(x) = x^3 - 5$.
Donc pour tout réel $x$:
\[f'(x) = u'(x)\mathrm e^{u(x)}
=3x^2\mathrm e^{x^3 - 5}.\]
$f'=u\cdot v$ avec $u(x) = 3x^2$ et $v(x) = \mathrm e^{x^3 - 5}$.
Donc pour tout réel $x$:
\[\begin{aligned}
f''(x) &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x)&
\\
&=6x\cdot \mathrm e^{x^3-5} + 3x^2\cdot 3x^2\mathrm e^{x^3 - 5}&
\\
&=6x\mathrm e^{x^3 - 5} + 9x^4\mathrm e^{x^3-5}&
\\
&=3x(2+3x^2)\mathrm e^{x^3 - 5}.&
\end{aligned}\]
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