EX. 02

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a. Pour tout $x\in\mathbb R$, $f'(x) = 2x + 1$.

b. Pour tout $x\in\mathbb R$, $f'(x) = 4\times 5x^4 - 3 \times 2x = 20x^4 - 6x$.

c. En développant et réduisant $f(x)$, on a pour tout $x\in\mathbb R$: \[f(x) = 6x - 2x^2 + 3 - x = -2x^2 +5x + 3.\] Alors, pour tout réel $x$: \[f'(x) = -2(2x) + 5 = -4x + 5.\]

d. $f$ est de la forme $u\times v$ avec: \begin{align*} u(x) &= 2x + 1& &\implies& u'(x)&=2;&\\ v(x) &= \sqrt x& &\implies& v'(x) &= \frac 1 {2\sqrt x}.& \end{align*} Donc, pour tout $x\in]0;+\infty[$ on a: \[\begin{aligned} f'(x) &= u'(x) \times v(x) + u(x)\times v'(x) & \\ &= 2\sqrt x + (2x+1)\times \frac 1 {2\sqrt x}& \\ &=2\sqrt x + \frac{2x+1}{2\sqrt x}.& \end{aligned}\]

e. $f$ est de la forme $\frac u v$ avec: \begin{align*} u(x) &= 2x+1&&\implies& u'(x)&=2;&\\ v(x) &=x-1& &\implies& v'(x)&=1.& \end{align*} Donc, pour tout $x\in]1;+\infty[$, on a: \[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{\left[v(x)\right]^2]}& \\ &=\frac{2(x-1) - (2x-1)\times 1}{(x-1)^2}& \\ &= \frac{-3}{(x-1)^2}.& \end{aligned}\]

f. $f$ est de la forme $\frac u v$ avec: \begin{align*} u(x) &= 2x^2+3&&\implies& u'(x)&=4x;&\\ v(x) &=x^2+1& &\implies& v'(x)&=2x.& \end{align*} On en déduit que pour tout réel $x$: \begin{align*} f'(x) &= \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{\left[v(x)\right]^2]}& \\ &=\frac{4x(x^2+1) - (2x^2+3).2x}{(x^2+1)^2}& \\ &= \frac{4x^3 + 4x - 4x^3 - 6x}{(x^2+1)^2}& \\ &=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}.& \end{align*}

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