EX. 03

retour

1. $f = u\times v$ avec : \[\begin{aligned} u(x) &= 3x \implies u'(x) = 3\;;& \\ v(x)&=\mathrm e^x \implies v'(x)=\mathrm e^x.& \end{aligned}\] Alors $f'=u'v + uv'$ ce qui donne, pour tout réel $x$: \[f'(x) = 3\mathrm e^x + 3x\mathrm e^x = (3+3x)\mathrm e^x.\]

2. $g=\dfrac u v$ avec : \[\begin{aligned} u(x) &= \mathrm e^x \implies u'(x) = \mathrm e^x\;;& v(x) &= 2x + 1 \implies v'(x) = 2.& \end{aligned}\] Alors $g'=\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, donc pour tout $x\in\mathbb R\setminus\left\{-\frac12\right\}$: \[g'(x) = \frac{\mathrm e^x(2x+1) - \mathrm e^x \times 2}{(2x+1)^2} = \frac{(2x+1-2)\mathrm e^x }{(2x+1)^2} =\frac{(2x-1)\mathrm e^x}{(2x+1)^2}.\]

3. $h = uv$ avec : \[\begin{aligned} u(x)&= \mathrm e^x& \implies u'(x)= \mathrm e^x\;;& \\ v(x)&=\sqrt{x}& \implies v'(x)=\frac1{2\sqrt x}.& \end{aligned}\] Donc $h'=u'v+uv'$ et pour tout $x\in\mathbb R_+^*$: \[h'(x) = \mathrm e^x\sqrt x + \mathrm e^x\times \frac 1{2\sqrt x} =\mathrm e^x\sqrt x + \frac{\mathrm e^x}{2\sqrt x}.\]

4. $k = uv$ avec : \[\begin{aligned} u(x)&=3x^2-5x + 8& \\ \implies u'(x)&=3\times 2x - 5\times 1 + 0 = 6x - 5\;;& \\ v(x) &= \mathrm e^x\implies v'(x)=\mathrm e^x.& \end{aligned}\] Donc $k'=u'v + uv'$ soit, pour tout $x\in\mathbb R$: \[\begin{aligned} k'(x) &= (6x-5)\mathrm e^x + (3x^2-5x+8)\mathrm e^x& \\ &=(6x-5+3x^2-5x+8)\mathrm e^x& \\ &=(3x^2+x+8)\mathrm e^x.& \end{aligned}\]

retour

code : 2853