Démonstration par récurrence.
Pour $n = 2$ on a: \[(1+x)^n = (1+x)^2 = 1^2 + 2\cdot 1 \cdot x + x^2.\] D'autre part \[1 + nx = 1 + 2x.\] Or $x^2 \ge 0$ donc : \[1 + 2x + x^2 \ge 1 + 2x \implies (1+x)^2 \ge 1+2x.\]
Supposons maintenant cette inégalité vraie au rang $n$ ($n$ étant un entier quelconque tel que $n \ge 2$). Donc par hypothèse de récurrence: \[(1+x)^n \ge 1 + nx.\] De plus $x > -1$ donc $(1+x) > 0$.
Alors: \[\begin{aligned} (1+x)^n &\ge 1 + nx& \\ \implies (1+x)(1+x)^n &\ge (1+x)(1+nx)& \\ \implies (1+x)^{n+1} &\ge 1^2 + 1\cdot nx + x\cdot 1 + nx^2& \\ \implies (1+x)^{n+1} & 1 + (n+1)x + nx^2& \end{aligned}\] Or $n > 0$ et $x^2 \ge 0$ donc $nx^2 \ge 0$, ce qui implique que: \[1 + (n+1)x + nx^2 \ge 1 + (n+1)x.\] Donc on a bien : \[(1+x)^{n+1} \ge 1 + (n+1)x.\] Initialisée et héréditaire, l'inégalité de Bernoulli est donc bien vraie pour tout entier naturel $n \ge 2$.

Soit $q\in\mathbb R$. Si $q>1$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty$.

Soit $x = q - 1$ donc $q = x + 1$.
Puisque $q > 1$, $x > 0$ donc on peut appliquer l'inégalité de Bernoulli pour tout entier $n\ge 2$: \[q^n = (1+x)^n \ge 1 + nx.\] Puisque $x > 0$ : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} nx = +\infty$.
Donc, a fortiori, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 1+ nx = +\infty$.
La suite $(q^n)$ étant minorée par une suite tendant vers $+\infty$, elle tend donc elle aussi vers $+\infty$ (Théo 17).

Prop. 15

Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.

On rappelle (déf. 2) qu'une suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si, quel que soit le réel $M$ que l'on choisisse, il existe un rang $n_0$ tel que \[n \ge n_0 \implies u_n \ge M.\] Soit donc $(u_n)$ une suite croissante non majorée.
Soit $M$ un réel quelconque. Puisque $(u_n)$ est non majorée, il existe un entier $n_0$ tel que : \[u_{n_0} > M.\] (Car sinon, $(u_n)$ serait majorée par $M$.)
Or la suite $(u_n)$ est aussi croissante. Donc pour tout entier naturel $n$: \[n \ge n_0 \implies u_n \ge u_{n_0} \implies u_n > M.\] Donc, par définition : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.

Prop. 17

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites numériques et un rang $n_0$ tel que \[\forall n\ge n_0,\quad u_n \le v_n.\] Alors :
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty \implies \displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = +\infty$;

Soient donc deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ vérifiant les conditions de la propriété annoncée.
Soit $M$ un réel quelconque. Puisque $(u_n)$ tend vers $+\infty$, il existe un rang $n_1$ tel que : \[n \ge n_1 \implies u_n \ge M.\] Soit $N$ le plus grand entier entre $n_0$ et $n_1$. Il est clair que : \[n \ge N \implies u_n \ge M.\] Mais aussi: \[n \ge N \implies v_n \ge u_n \implies v_n \ge M.\] Donc, par définition (Déf. 2), $(v_n)$ tend vers $+\infty$.

retour

Exercices corrigés complémentaires

0. Révisions

Terme général, relation de récurrence

Suites arithmétiques, géométriques

Sommes de termes

Monotonie (variation)

Recherches de seuils

1. Raisonnement par récurrence

2. Limite d'une suite

3. Opérations sur les limites

4. Suites monotones bornées

Montrer qu'une suite est bornée

En déduire une limite

5. Limites par comparaison

Algorithmique et Python

Problème et types bac

Corrigés d'exercices du manuel

Démonstrations du cours

Prop. 5 (cas $q>1$)

Prop. 15

Prop. 17